Народна Освіта » Математика » Геометрія » Сума кутів трикутника, описане й вписане в трикутник коло, властивість серединного до відрізка перпендикуляра

НАРОДНА ОСВІТА

Сума кутів трикутника, описане й вписане в трикутник коло, властивість серединного до відрізка перпендикуляра

Сума кутів трикутника

У трикутника кути можуть бути гострі, прямі й тупі.

Теорема 14 (про суму кутів трикутника). Сума кутів трикутника дорівнює 180*.

Для будь-якого виду трикутників теорема доказом (мал. 46).

Доведення. Нехай ABC даний трикутник. Доведення побудоване на теоремі про кути при паралельних прямих.

Через вершину А трикутника проведемо пряму AD, паралельну основі ВС.

Висновок теореми 14

У будь-якого трикутника є хоча б два гострих кути.

Якщо один з кутів у трикутнику прямий чи тупий (тобто більший за 90е), то два інші кути повинні в сумі скласти не більше 90*.

2.8. Зовнішній кут трикутника

Означення. Кут при вершині трикутника, що лежить поза площиною трикутника, суміжний з кутом трикутника при тій же вершині, називається зовнішнім кутом трикутника.

У кожного трикутника в зовнішніх куті* Кожей кут тригутхик» use 2 зовнішні кути при вершин).

Зовнішній кут гострого кута — тупий кут, тупого кут» ----- гегфиft пут, прямого кута — прямий кут.

У рівнобедреного трикутника - 2 пари здяншиіх кутів рівні, у рімю> стороннього трикутника - усі 6 зовнішніх кутів рівні МІХ собою.

Теорема 151'про величину юекішнього кута трикутника). Зовяввр ній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних а ним.

Доведення Доведення побудоване на теоремі 14 про суму кутів трикутника (мал. 48)

Сума кутів трикутника АВС дорівнює 180*:

Висновок теореми 15

Зовнішній кут трикутника більший від будь-якого внутрішнього кута, не суміжного з ним.

2.9. Прямокутний трикутник

Означення. Трикутник, у якого один кут прямий, називається прямокутним трикутником.

Протилежна прямому куту сторона називається гіпотенузою, дві інші — катетами (мал. 49).

Оскільки гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й катету другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні (ознака рівності прямокутних трикутників).

2.10. Перпендикуляр до прямої

Будь-яка відстань визначається по перпендикуляру, як найкорот-шому шляху від точки до прямой

Теорема 16 (про одиничність перпендикуляра з точхи до прямої), Іа будь-якої точки, яка не лежить на даній прямій, можна опустити на цю пряму перпендикуляр, і тільки один.

Доведення побудоване на висновку теореми 13 (якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до іншої прямої).

Висновки теореми 16

1.  Довжина перпендикуляра, опущеного з даної точки на пряму, називається відстанню від точки до прямої.

2.  Відстані від усіх точок прямої до паралельної їй прямої рівні (паралельні прямі — рівновіддалені одна від одної).

3.  Відстанню між паралельними прямими називається відстань від будь-якої точки однієї прямої до іншої прямої.

3. коло

3.1. Визначення кола

Означення 1. Коло — це замкнена крива на площині, усі точки якої рівновіддалені від однієї точки, яка називається центром.

Коло можна розглядати як геометричне місце точок з певними властивостями, тоді означення кола абсолютно не зміниться.

Означення 2. Коло—це геометричне місце точок, усі точки якого рівновіддалені від однієї точки, яка називається центром.

Обидва означення тотожні.

Відстань від будь-якої точки кола до його центра називається pw1' усом кола. Пряма, що перетинає коло і лежить в одній площині з ним» називається сінною кола.

Відрізок січної, що сполучає дві точки кола, називається хордою.

Діаметр — це хорда, яка сполучає дві точки кола і проходить через її центр.


Діаметр кола дорівнює двом Його радіусам (за побудовою): D m 2R або d - 2г.

Кола, що мають спільну точку центра називаються жониектричршми колами (мал. 51).

Число, що є відношенням Д0НЖИ-никола до його діаметра, назвало числом % (читається «т»).

Число х - нескінченний веперю-дичний лесятковнй дріб, застосовується для обчислення всіх параметри кола

(довжини, кутів, дуг І Т. Ійи).

Для обчислення прийнято округлювати число до двох десяткових знаків після коми, отже, у шкільному курсі математики число ж т 3,14.

Більш точне значення числах використовується в науці, обчисленнях астрономів, точній механіці та інших галузях знань. Тепер, у зв'яжу із розвитком обчислювальної техніки, число х обчислюється до 153-го знака після коми.

Властивість серединного серединного перпендикуляра до відрізка

Перпендикуляр, проведений через середину відрізка, називають серединним перпендикуляром до відрізка.

Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівшжіддаде-на від кінців цього відрізка.

Ця властивість доводиться в задачі.

Задача t (про в. юстивість серединного перпендикуляра до відрізка).

Ми можемо розглянути будь-яку кількість пар трикутників, переносячи точку X вгору чи вниз по перпендикуляру.

За цим же доведенням всі гіпотенузи отриманих пар трикутників будуть рівні між собою.

Висновок задачі

У трикутників, які мають спільною стороною серединний перпендикуляр, гіпотенузи рівні.

Коло, описане навколо трикутника

Означення. Описане навколо трикутника коло — це коло, яке проходить через усі вершини трикутника, не перетинаючи його сторін.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло. Для того щоб описати коло, достатньо знайти точку центра кола і його радіус.

Теорема 17 (про описане навколо трикутника коло). Центр описаного навколо трикутника кола лежить на перетині серединних перпендикулярів до сторін трикутника, а радіус дорівнює відрі' зку, який сполучає центр кола з вершиною трикутника.

Щоб побудувати коло навколо AADQ, достатньо провести два серединних перпендикуляри (ВК і CF) до сторін трикутника, точка перетину яких є центром кола (О) (мал. 53).

Сполучимо точку О відрізком (АО) з вершиною трикутника і цим відрізком, як радіусом (R), опишемо коло.

Доведення. Доведення зводиться до розгляду Аі40(і який с рівнобедреним (дві сторони - радіуси одного кола). Медіана СО у рівнобедреному трикутнику є бісектрисою І ВИСОТОЮ. Медіана СО — це відрізок серединного перпендикуляра CF, отже, CF1AQ. Аналогічно доводиться, що через центр проходять два інші серединні перпендикуляри.

Порядок побудови серединного перпендикуляра до відрізка (мал, 54).


1. Із кінців відрізка СК однаковим радіусом, більшим за половину відрізка, провести два допоміжні кола.

Точки перетину кіл у різних півплощинах (В та Е) належать серединному перпендикуляру.

2. Через точки В*та Е провести пряму. Одержана пряма перетинає відрізок у точці А.

Відрізок АВ і буде серединним перпендикуляром заданого відрізка СК.

Коло, вписане в трикутник

Означення. Коло, вписане в трикутник, розміщене в площині трикутника і дотикається до всіх його сторін.

Кожна сторона трикутника є дотичною до кола. Радіусом кола є перпендикуляр, опущений з центра кола на сторону трикутника. Радіус позначається латинськими буквами R або г, як і для описаного кола.

Теорема 18 (про центр кола, вписаного в трикутник). Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину його бісектрис.

Оскільки всі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, то для побудови центра вписаного кола достатньо провести дві бісектриси трикутника.

Доведення. Для побуло, ви бісектрис трикутника використаємо метод побудови бісектриси кута (мал. 55) або поді-лимо кут навпіл за допомогою транспортира.

Точку перетину бісектрис позначимо О. Із точки О опустимо перпендикуляр на будь-яку із сторін трикутника, він і буде радіусом кола (ОД) (мал. 55).

Розглянемо АЕОК і АЕОА:

AO - OK - R; ЕО — спільна;

/А - ZK - 90* (за побудовою).

Відповідно, АЕОК - АЕОА за ознакою рівності прямокутних трикутників (для прямокутних трикутників достатньо рівності гіпотенуз і одного з катетів).

У двох інших бісектрис рівність трикутників доводиться аналогічно.

Із рівності трикутників випливає рівність кутів: ZAEO - ZOEK. Отже, точка О лежить на перетині бісектрис трикутника, що й необхідно було довести.

Центри вписаного й описаного кіл у трикутнику збігаються, якщо вія рівносторонній (правильний трикутник).

Автор: admin от 10-06-2013, 17:46, посмотрело: 14229