Народна Освіта » Математика » Алгебра » Границя і неперервність функції

НАРОДНА ОСВІТА

Границя і неперервність функції

Доповнення до поняття функції

Приклади функцій, заданих різними виразами на різних інтервалах:

4.2. Визначення границі функції при *->*<>

 

Число Л називається границею функції

 

у точці д: - *0, запису

 

існує таке число

,що

 

якщо для будь-якого

 

ють

 

які задовольняють умов)1

має місце нерівність

 

для всіх

 


Визначення припускає своєрідну дискусію між двома особами Л, і АГАХ висуває вимогу: функція повинна відрізнятись за модулем від А менше ніж на є,. Ап відповідає на цю вимогу вказівкою, що існує такий

 

де ця умова буде виконана. Тоді Ах стає більш вимогливим і пропонує нову, меншу похибку. А2 знов зустрічає цю вимогу добиранням 62, можливо, меншого, ніж 5,.

Якщо А2 може задовольнити будь-яку вимогу At, то А є границя/(л:), коли х —► xQ.

4.3. Визначення границі функції при х <х>

 

Число А називається границею функції

 

якщо для

 

 

будь-якого

 

 

існує число

 

виконуватись нерівність:

 

таке, що для всіх х > М буде


4.4. Нескінченно мала функція

 

Функція

 

 

називається нескінченно малою при

 

якщо

 

для будь-якого є > 0 можна знайти такий окіл точки {/_ ,щодлявсй

 

 

буде виконуватись нерівність:

 

 

Функція називається нескінченно малою при х —► х0, якщо в цьому граничному переході її границею є нуль.

4.5. Нескінченно велика функція

Функція називається нескінченно великою при х-+х0, якщо для будь, якого (скільки завгодно великого) М > 0, можна указати такий окіп точки U4, що для всіхх є U4 буде виконуватись нерівність:

Аналогічне означення для нескінченно великої і нескінченно малої функції можна навести, коли х наближається не до скінченного х а до ±оо.    °’

4.6. Властивості нескінченно малих і нескінченно великих функцій

У подальшому для стислості будемо називати функції нескінченно малі й нескінченно великі.

0 Алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих функцій є нескінченно малою функцією.

0 Добуток нескінченно малої на обмежену функцію є нескінченно малою функцією у даній точці.

0 Добуток нескінченно малих є нескінченно мала.

0 Сума нескінченно великих функцій одного знака є нескінченно велика.

0 Лобуток нескінченно великих є нескінченно велика.

 

0 Частка двох нескінченно малих

 

являє собою невизначеність

 

вигляду <0/0*.

 

0 Різниця двох нескінченно великих фуйкцій одного знака є невизначеність ВИГЛЯДУ «00 - 00».

у тому ж грани

 

0 Якщо

,є нескінченно мала, то

чному переході є нескінченно велика.

 

Друге означення границі функції при х х0

- нескін

ченно мала.

можна подати у вигляді суми деякого числа А і нескінченно малої, тобто

 

Обернене твердження: якщо при х -» х0 функцію


4.7. Властивості границь

Границя стало! функції у - с дорівнює цій хе сталі flu

 

 

Теорема. Якщо функції

у точці дг, мають границі, то сума і добуток цих функцій також мають у цій точці границю, причому

 

Якщо f(x) в точці х0має границю, то правильними е такі рівності:

 

Нескінченно малі й нескінченно великі можуть порівнюватись між собою за допомогою дослідження їхньої частки.

 

4.7.1. Порівняння нескінченно малих і нескінченно великих

 

то нескінченно малі а,(дг) і а2(х) називаються нескінченно малими одного порядку мализни.

В окремому випадку, якщо

Символічно це записують так: а,(х) - а2(дг). Якщо

то а,(х) називається нескінченно малою більш високого порядку мализни.

Так, якщо х -* 0, то у, - я3 і уг - 2х* є нескінченно малими, але у, -нескінченно мала більш високого порядку, ніжуг

Аналогічно за допомогою дослідження відношення порівнюються нескінченно великі.

4.7.2. Перша границя

Границя

називається першою границею.

При х 0 ірафіки у « sin* і у - х стають нерозрізнимими, тому sin* - х. З тих же причин при х —► 0

4.9. Визначення неперервності функції уточцідг0

Функція f(x) називається неперервному точці х9, якщо вона визначена в цій точці і деякому її околі, і нескінченно малому приросту аргументу А х відповідає нескінченно мале змінення функції (Аж - х - х0).

 

4.8. Однобічні границі

 


Якщо функція /(х} визначена на деякому інтервалі (в; Ь) і неперервна у кожній точці цього інтервалу, вона називається неперервноюна цьому інтервалі.

Функція f(x) називається неперервною у точці х0,якщо виконані такі умови;

Усі елементарні функції неперервні у кожній внутрішній точці своєї області визначення.

4.10. Властивості неперервних функцій

 

Теорема про неперервність елементарних функцій

 

Властивості неперервних функцій на замкнутому інтервалі Функція f(x), неперервна на замкнутому інтервалі [а; b], досягає в цьому інтервалі хоча б один раз свого най-більшого М і найменшого т значень.

Функція f(x), неперервна на закнутому інтервалі [а; Ь\, набуває усіх своїх проміжних значень між найменшим т і найбільшим М значеннями.

Для будь-якого с.т<с< М знайдеться таке значення аргументу хс, Що/(хс)-с.

Якщо не виконана хоча б одна з умов визначення неперервності, функція у відповідній точці називається розривною.

Класифікація точок розриву функції Якщо f(x0 - 0) і f(xQ + 0) обидві скінченні, але не рівні між собою, то функція у точці х0 має розрив першого роду.

функція/(;г) в точці х0 має розрив першого роду, що «усувається», якщо

Похідною функції f(x) у точці х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує:

тобто однобічні похідні існують і рівні між собою.

 

Позначення похідної функції у -/(х):

 

Існування цієї границі припускає, що

 

Якщо/(х) існує в точці х, функція f(x) називається диференційов-ною у точці. Якщо/(х) диференційовна у кожній точці деякого інтервалу, вона називається диференційовною на цьому інтервалі.

5.2. Зв'язок дифереиційовності з неперервністю

Теорема. Якщо функція /(х) диференційовна у точці, то вона у цій точці неперервна.

З цієї теореми випливає, що неперервність функції в точці є необхідною умовою диференційовності функції в даній точці.

Наприклад.

У точці х - 0 функція є неперервною, але не диференційовною, оскільки похідні зліва і справа у цій точці існують, але не рійні між со-+ бою.

Дотичною до кривої у - /(ж) в точці М називається граничне положення січної, проведеної через точку М і сусідню з нею точку Mt кривої, за умови, що точка М, необмежено наближається вздовж кривої до точки М.

 

5.3. Визначенні! дотичної до критої

 

5.4. Геометричний зміст похідної

Похідна функції у ■= f(x) у точці х0 чисельно дорівнює тангенсу кута нахилу до осі Ох дотичної, проведеної до кривої у - /(х) у точці М(*0;/(*0».

5.5. Механічний зміст похідної

Нехай S = S(t) — закон руху матеріальної точки вздовж прямої.

Похідна від шляху за часом дорівнює миттєвім швидкості нерівномірного руху матеріальної точки.

Примітка. Відшукання (обчислення) похідної зводиться до обчислення границь (розкриття невизначеності вигляду « ^ »).

Відшукання похідної за означенням

Знайти похідну функції

5.6. Властивості похідної

5.7. Похідна складеної функції

5.7.1. Ланцюгове правило для обчислення похідної

5.7.2. Похідна степенево-показникової функції

5.8. Похідні елементарних функцій

5.9. Визначення диференціала

Застосовані формули похідної добутку, похідної суми, похідної показникової функції.

 

Застосовувались формули похідної логарифма і кореня квадратного.

 

(зображення функції в околі граничної точки у вигляді суми своєї границі і нескінченно малої).

Диференціалом функції називається головна частина її приросту» лінійна відносно Ах.

5.9.1. Геометричний зміст диференціала

Диференціал функції дорівнює приросту ординати дотичної при зміненні х на величину Аг.

5.9.2. Властивості диференціала Якщо f(x) і ф(дг) — диференційовні функції, то

5.10. Дотична і нормаль до крммТ

Дотична і нормаль до кривої у */(*) у точці


5.11. Похідні вищих порядків

5.11.1. Визначення другої похідної (похідної другого порядку)

Для функції /(*) перша похідна від її першої похідної, якщо вона існує, називається другою похідною.

5.11.2. Визначення похідної я-го порядку

Похідна першого порядку, якщо вона існує, від похідної (п - 1) порядку називається похідною я-го порядку.

5.11.3. Механічний зміст другої похідної

Нехай S - S(t) — закон руху матеріальної точки вздовж прямої зі швидкістю К- V(t).

За час At приріст швидкості складає

Прискорення матеріальної точки, яка рухається, дорівнює ДРУГ1Й похідній шляху за часом.

6. ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ

6.1. Теорема Ролл*

Якщо функція у -/(*):

а)    визначена і неперервна в інтервалі [а; Ь);

б)    диференціюється хоча б у (а; Ь);

в)/(а)    •/(£) — на кінцях інтервалу набуває рівних значень, то існує хоча б одна точка с є (а; b), де /'(с)» 0.

Геометричний зміст теореми Рояля

 

При виконанні умов а), б), в) існує хоча б одна точка кривої у - /(*), де дотична паралельна осі Ох.

Приклад. Функція у = х?-х (мал. а) в інтервалі [0; 1] задовольняє усі вимоги теореми. Її похідна \f - ЗЛ2 -1 перетворюється на нуль при

Приклад. Функція у - |х| (мал. б) «майже* задовольняє умову теореми на інтервалі [-1; 1], однак не має жодної точки на цьому інтервалі, де дотична була б паралельна осі Ох. Причина: не виконана умова б) — у точці х - 0 функція не диференційовна.

6.2. Теорема Лагранжа Якщо функція f(x):

а)    визначена і неперервна в інтервалі [а; Ь]\;

б)    диференційовна хоча б у (а; Ь),

то існує хоча б одна точка сє (а; Ь),де

 

Геометричний зміст теореми Лагранжа

 

Існує хоча б одна точка с є (а; Ь), де дотична до кривої ЛВ паралельна стяжній хорді.

 

6.3. Поведінка функції в інтервалі

6.3.1. Необхідна умова зростання функції

Якщо функція f(x)скрізь в інтервалі (а; Ь),скінченному або нескінченному, зростає, то її похідна в цьому інтервалі невід’ємна:

6.3.2. Необхідна умова спадання функції

Якщо функція f(x)в інтервалі (а; Ь),скінченному або нескінченному, спадає, то її похідна в цьому інтервалі недодатна; f'(x)<0.

6.3.3. Залежність функції від її похідної

Якщо функція у ~f(x)зростає (спадає) у кожній внутрішній точці проміжку (а; щ то вона зростає (спадає) на цьому проміжку.

6.3.4. Визначення інтервалів монотонності функції

Проміжки області визначення функції /(аг), де похідна зберігає знак, називаються інтервалами монотонності функції.

Межами інтервалів монотонності є точки, де похідна перетворюється на нуль або не існує.

Для похідної функції інтервали зростання і спадання не обов’язково чергуються.

Пр и к л а д. Функція у = я3 - Зле2 - 9л: + 1 визначена на всій числовій осі.

Її похідна у' = Зле3 - бат - 9 ■ 3(^2 - 2х - 3) - 3(х +1 )(х - 3) перетворюється на нуль у точках хх = -1 і х2 - 3. Ці точки і розбивають числову вісь, тобто Dft на інтервали монотонності.

6.4. Розкриття невизначеносте*! при обчисленні границь

Теорема Лопіталя (правило Лопіталя) для розкриття невизначеностеіІ

Нехай функції f(x) і cp(jt) визначені і диференційовні у дейкому околі точки xQ, за винятком, можливо, самої точки xv причому

Правило Лопіталя може бути використане і для розкриття невизна-

6.5. Екстремуми функції

 

6.5.1. Визначення максимуму функції у точці

ТочкаXj називається точкою максимуму функції /(*), якщо значення функції в цій точці більше, ніж будь-яке її значення, обчислене для х, яке належить околу точки хґ

/(*,)>/(х)(У*є v^ ).

f(xt) називається максимумом функції.

Визначення мінімуму функції в точці

Точка х0 називається точкою мінімуму функції/(*), якщо значення функції в цій точці менше, ніж будь-яке її значення, обчислене для х, яке належить околу точки х0.

f(x0) називається мінімумом функції.

Точки максимуму і мінімуму функції називають ще екстремальними точками, а мінімуми і максимуми називаються екстремумами функції-

Із означення виходить, що поняття мінімуму і максимуму мають окальний характер (для деякого околу точки).

6.5.2. Необхідна умова існування екстремуму в точці

Теорема. Якщо диференційовна функція у - /(х) у точці х0 є (а;Ь) досягає екстремуму, то в цій точці похідна /(х0), якщо вона існує, дорівнює нулю.

Екстремум може досягатись і в точках, де похідна не існує (наприклад, у точці х2).    ^

6.5.3. Визначення стаціонарної точки

Точки області визначення функції у ж fix)називають стаціонарними точками функції, якщо в цих точках/(х0) - 0.

Отже, функція в стаціонарних точках може мати екстремуми. Але слід пам’ятати, що в цих точках виконується тільки необхідна умова існування екстремуму. Тому стаціонарні точки функції не обов’язково екстремальні точки. Вони є екстремальними, якщо в них виконуються достатні умови існування екстремуму.

6.5.4. Достатні умови існування екстремуму функції в точці

Теорема. Нехай функція f{pc)визначена й неперервна у стаціс нарній точці xQі деякому її околі і диференційовна у цьому околі, за виш тком, можливо, самої точки х0Тоді, якщо при зростанні хвідх<х0 до > *0 похідна fix)змінює знак з «+* на <-», то в точці х0 — максиму] якщо з «-► на «+» — мінімум.

Приклад. Дослідити на екстремум функцію

 

і зобразити ескіз її графіка.

Схема дослідження функції на екстремум

1)    Область визначення функції х є К\{\).

2)    Стаціонарні точки:

Ескіз графіка функції

Точка х= 1 є точкою розриву другого роду.

6.5.5. Найбільше    г)    і    найменше    min/(*) значення

функції в замкнутому інтервалі

Якщо найбільше (найменше) значення досягається всередині ін тервалу [в; Ь],то це один із максймумів (мінімумів) функції. У протилс ясному випадку найбільше (найменше) значення досягається на кінця інтервалу.

 

6.5.6. Правило відшукання

1)    Обчислити значення функції у стаціонарних точках.

2)    Обчислити значення функції на кінцях інтервалу, тобто /(я) і

А*).

3)    Найбільше і найменше з отриманих чисел і будуть відповідно найбільшим і найменшим значенням fix) на [а; Ь].

5.6. Застосування другої похідної дня дослідження функцій

6.6.1. Визначення угнутої кривої f(x) в інтервалі (а; Ь)

Крива ^ * /(*) називається угнутою в інтервалі (аг, Ь), якщо точки її графіка лежать вище будь-якої дотичної, проведеної до кривої у цьому інтервалі.

Ілюстрація угнутості й опуклості кривої

Крива у - /(х) називається опуклою в інтервалі, якщо точки її графіка лежать нижче будь-якої дотичної, проведеної до кривої в цьому інтервалі.

6.6.2. Достатні ознаки угнутості (опуклості)

Якщо функція у в/(х) у будь-якій внутрішній точці х0 проміжку (а;

Ь) має другу похідну /'(х0) і f(xQ) > 0 (f'(x0) < 0), то крива у - /(х) в цьому проміжку угнута (опукла).

6.6.3. Визначення точки перегину

Точку М00, f(xQ)) називають точкою перегину графіка функції, якщо вона відділяє ділянку кривої, де вона угнута, від ділянки опуклості або навпаки.

6.6.4. Необхід на умова існування точки перегину ' /Ч*о) “ 0 (або/'(*<)) не існує).

6.6.5. Достатня умова існування точки перегину

Нехай друга похідна/' (х) існує скрізь усередині проміжку, який розглядаємо. Якщо при переході через значення х-хв похідна/'(х) змінює

знак, то точка М0 є точкою перегину, якщо не змінює знака, то перегину немає.

Точками перегину можуть бути також точки кривої, де/*'(*) не існує.

Інтервали, де/'(*) зберігає знак, називаються інтервалами опуклості (угнутості).

Точки, де друга похідна дорівнює нулю або не існує, є межами інтервалів опуклості й угнутості кривої.

Приклад. Знайти інтервали опуклості й угнутості функції у =

6.7. Загальна схема дослідження функції І побудова її графіка

1.    Знаходять область визначення функції /(х), а також можливі точки розривів і їхній характер.

2.    З'ясовуються характерні особливості поведінки функції: парність, непарність, періодичність, точки перетину з осями координат.

3.    Знаходять інтервали монотонності, стаціонарні точки й екстремуми.

4.    За допомогою другої похідної визначаються інтервали опуклості й угнутості і точки перегину.

5.    У випадку наявності асимптот обчислюються їх параметри й рів* няння.

6.    На основі отриманих даних будується графік.

Приклад. Провести повне дослідження й побудувати графі*

 

При побудові графіка:

а)    обирається раціональним способом масштаб;

 

б)    проводяться асимптоти;

в)    обчислюються значення функції у стаціонарних точках;

г)    обчислюється значення функції у проміжних точках;

д)    плавно з’єднуються ділянки кривої.

6.8. Застосування похідної до лінеаризації

функцій

6.8.1. Формула Тейлора

Нехай функція f(x) у точці лг0 і деякому її околі має неперервні похідні до другого порядку включно. Тоді на основі теореми про зображення функції в околі граничної точки у вигляді суми її границі f(x0) і нескінченно малої а маємо її приріст у точці х = х0 + Ах:

R{ — остача. Величина остачі є нескінченно малою більш високого порядку, ніж Ах. Її можна порівняти лише із Ах*. Тобто

Формула Маклорена — окремий випадок формули Тейлора.

6.8.2. Подавання елементарних функцій за формулою Маклорена

Якщо знехтувати остачею Ry то для хе U (0)

6.8.3. Лінеаризація функції

лтеаризащя функції f(x)В ОКОЛІ ТОЧКИ Х0геометрично изначас омину кривої у •fix) дотичною, проведеною до кривої у цій точці, оскільки рівняння

6.8.4. Наближені обчислення

Категорія: Математика » Алгебра

Автор: admin от 8-06-2013, 22:52, посмотрело: 5663