Народна Освіта » Математика » Алгебра » Тригонометричні функції

НАРОДНА ОСВІТА

Тригонометричні функції

2.8. Тригонометричні функції

2.8.1. Тригонометричні функції кута

Синусом гострого кута а прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.


Косинусом гострого кута а прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.

Тангенсом гострого кута а називається відношення протилежного катета до прилеглого.




2.8.2. Визначення основних тригонометричних функцій

х являє собою довжину дуги кола, що відповідає радіанному вимірюванню кута.

Відповідність між градусами і радіусами

Радіан — це центральний кут, довжина відповідної дуги якого дорівнює радіусу кола.


2.8.3. Довжина дуги кола

Вираження довжини дуги кола через радіус і центральний куп


Для даного центрального кута відношення довжин дуг концентричних кіл до довжин відповідних радіусів — величина стала.

Довжина дуги дорівнює добутку радіуса на центральний кут (у рад.): / = аг.

2.8.4. Графіки функцій^ * siruc, у*cosjc

Функції синус і косинус є періодичними, їхній період дорівнює 2ті.

 

 

Область значень:

 

 

Область визначення функцій у - siiuc, у - COST.

 

2.8.5. Визначення функцій ymtg х, у ctgx

 

Функції у - tgr І у - ctgx періодичні 3 періодом 71.


Область визначення функцій:

Область значень функцій: у є (-оо; оо).

Таблиця значень тригонометричних функцій

— кути, які з віссю Од: утворюють горизонтальні радіуси одиничного кола.

Знаки тригонометричних функцій у координатних чвертях.

2.8.6. Формули зведення

 

ничного кола.

 

— кути, які з віссю От утворюють вертикальні радіуси оди


Правило. Якщо треба визначити функції кута (аргументу)

 

то всі тригонометричні функції переходять до своїх кофункцій з урахуванням їхнього знака зі схеми .(*). При горизонтальному діаметрі — це кути я ± а.

Тригонометричні функції не переходять до своєї кофункції. Знак функції визначається також зі схеми (*).

Функції у“ sinx, у“ tgх, у- ctgr — непарні. їх графіки симетричні відносно початку системи координат.

Формули зведення тригонометричних функцій (зведена таблиця)

 

Парність і непарність тригонометричних функцій

 

у* cost — парна. Графік функції симетричний відносно осі Оу.

Співвідношення між тригонометричними функціями

sin2* + cos2* - 1 — основна тригонометрична тотожність, із якої виходить:

За формулою відстані між двома точками

або за теоремою Піфагора

Прирівнюючи праві частини, після перетворень отримуємо:

2.8.7. Залежність між тригонометричними фушсціямм пдипго й того ж кута

Знаки коренів обираються згідно зі схемою знаків тригонометричних функцій у координатних чвертях, тобто залежно від того, який знак функції магмо у квадранті, що розглядаємо.

 

Графіки обернених тригонометричних функцій у — агезіп*» У arccosr.


Графіки обернених тригонометричних функцій

у - arctgr, у - arcctgr.

Інший спосіб позначення обернених тригонометричних функцій: arcsinx - sirr’x; arccosr - cos-1jr, arctgr - tg"’x; arcctgr - ctg~‘x.

2.9.2. Властивості обернених тригонометричних функцій

2.9.3. Пперболічні синус і косинус

Визначення гіперболічних синуса і косинуса:

Графіки гіперболічних функцій у “ shx; у — chr.

2.9.4. Властивості гіперболічних функцій

2.9.5. Розв’язування тригонометричних рівнянь Найпростіші тригонометричні рівняння:

Окремі випадки

2.10. Тригонометричні нерівності Найпростіші тригонометричні нерівності:

3. НЕРІВНОСТІ

3.1. Визначення І властивості числових нерівностей

Два вирази, які пов’язані знаками відношень (крім знаїЕа «=»), називаються нерівністю.

Розрізняють:

—    числові нерівності(наприклад а< Ь,леа,Ь— дійсні числа);

—    нерівності, що містять змінні,які при одних значеннях хможуть

бути правильними, а при інших — неправильними (наприклад

Можна також указати на тотожні нерівності, які залишаються правильними при будь-яких значеннях змінних, що входять до них.

Так, наприклад:

Тобто середнє арифметичне двох додатних чисел не менше від їхнього середнього геометричного.

Треба пам'ятати, що тотожність нерівностей доводять, а нерівність, яка містить змінні, розв’язують.

Властивості числових нерівностей

3.2. Нерівності, які містять одну змінну

Розв’язком нерівності з одною змінною називається значення цієї змінної, яке задовольняє дану нерівність. Розв'язати нерівність — означає знайти усі її розв’язки або довести, що їх не існує.

Часто, розв’язуючи нерівність, корисно замінити її на більш просту, еквівалентну (рівносильну) нерівність.

Дві нерівності називаються еквівалентними (рівносильними), якщо вони мають одні й ті ж розв’язки (або не мають їх зовсім). -

3.2.1. Властивості нерівностей, ясі містять одну змінну

1) Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок і змінити перед ним знак на протилежний, то дістанемо нерівність, рівносильну даній.

2) Якщо обидві частини нерівності помножити на додатне число, то отримана нерівність залишиться рівносильною.

Приклад. Розв’язати нерівність

Звівши подібні, маємо:

'    3.2.2.    Метод інтервалів

і. Нехай треба розв’язати нерівність:

щоо позоавитись знака модуля, необхідно розглянути різні випадки, коли вираз х — 1, х і 2х + З змінюють знак. Відмітимо на числовій

 

прямій значення х, при яких ці вирази" перетворюються на нуль. Це

точки

 

Цими точками числова вісь буде поділена на 4 інтерва

ли:


Таким чином, у цьому інтервалі розв’язків також нема.

що також неможливо.

 

 

Об’єднуючи всі інтервали, дістанемо:

 

Л

2. Розглянемо тепер нерівність вигляду:

 

 

усі множники лівої частини нерівності оудуть додатні і дооуток також. Для хя_х < х < '^останній множник — від’ємний, але всі інші залишаються додатними, і тому весь добуток буде від’ємний. Аналогічно, для хя_2<х< хпХ тільки останній і передостанній множники будуть від’ємні, усі ж інші збережуть додатне значення, і добуток у цілому теж. Продовжуючи послідовно досліджувати всі інші інтервали, приходимо до висновку, що знак лівої частини нерівності буде змінюватись від інтервалу до інтервалу так, як показано нижче:

Ідея методу інтервалів полягає у поділі числової осі на інтервали, у внутрішніх точках яких вирази (або множники) не змінюють знака.

П р и к л а д < Розв’язати нерівність (я2 + 2) • х • (х+2) > 0.

Перший множник на нуль не перетворюється і завжди додатний, тому, поділивши обидві частини нерівності на нього, дістанемо

 

Перевірив

 

де множники перетворюються на нуль у точках

 

 

ши знаки виразу в інтервалах

які чергуються,

 

починаючи 34 + >, остаточно дістанемо інтервал:

Зауваження. До вищезгаданих властивостей нерівностей, які містять змінні, слід додати:

3.2.3. Системи нерівностей з однією змінною

Роэв 'язком системи нерівностей з однією змінною називається значення змінної, яке задовольняє кожну нерівність системи. Розв’язати систему нерівностей — означає знайти усі її розв’язки або довести, що їх немає.

Категорія: Математика » Алгебра

Автор: admin от 8-06-2013, 22:50, посмотрело: 5395