Функціональна залежність
Основними поняттями в математиці є: «множина», «натуральне число*,«точка», «пряма», «площина», «відстань» і т. д.
Множини
Означення поняття «множина не існує. Прикладами множин можуть бути:
а) множина учнів у класі;
б) множина коренів квадратного рівняння;
в) множина трикутників, які мають одну й ту ж основу і висоту, і т. д. Тут множини а) і б) — скінченні; множина в) — складається із незліченної кількості елементів. Існує також поняття порожньої множини, тобто множини, яка не містить у собі жодного елемента (позначається
символом |
Розглянемо основні числові множини:
множина цілих чисел; |
множина натуральних чисел;
множина раціональних чисел.
Інакше кажучи, раціональними є числа, які можна подати у вигляді відношення*цілого і натурального чисел (тобто у вигляді звичайного дробу) або у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу. Числа, які зображуються нескінченними десятковими неперіодичними дробами,
складають множину ірраціональних чисел. Так, |
||
раціональними; |
ірраціональні числа. |
R — множина дійсних чисел, яка об’єднує раціональні й ірраціональні числа.
— множина комплексних чисел.
Числова пряна (або числова вісь) — це пряма, на якій вибрані початок відліку, додатний напрямок і одиниця масштабу. |
Між точками числової осі й дійсними числами існує взаємно-однозначна відповідність: кожному дійсному числу відповідає точка на цій осі і навпаки (теорема Кантора). МножиниN,Z,Qe підмножинамиR, тобто є його частинами. У той же часЛс: С, бо С геометрично можна подати як множину точок М (а; Ь) площини, а Я, як було зазначено вище, як множину точок прямої, яка є частиною площини.
1.1.2. Операції над множинами |
Множини вважаються рівними, якщо складаються з одних і тих самих елементів. Нескінченні множини можуть порівнюватись між собою за їхньою потужністю.
Існують множини, що порівнюються з множиною натуральних чисел, які називаються зчисленними (найменш потужні з нескінченних множин), а також множини потужності континуума (наприклад R або С) — у «незчисленну кількість» разів потужніші, ніж зчисленні. Інших множин проміжної потужності між зчисленним і потужності континуума не існує (І проблема Гільберта). Множина Q є зчисленною, тоді як множина ірраціональних чисел незчисленна.
Якщо для прикладу уявити, що всі точки відрізка числової прямої
так і |
від 0 до 1, які зображують як раціональні (скажімо,
ірраціональні |
числа, є мініатюрними кульками, що розта
шовані уздовж відрізка одна біля одної і мають спільну вагу 1 грам, а потім «просіяти» раціональні числа, щоб залишилися лише кульки, які зображують ірраціональні, і знов «зважити», то їхня «вага» складе рівно 1 грам.
Нехай дано дві множини X і Y. Якщо кожному значенню елемента х є X якимсь чином відповідає єдине певне значення елемента у є К, То цим самим задане відображення множини X на Y, або на множині у задана певна функція
- це закон, за яким кожному елементу* і Xвідповідає єдиний елемент у є Y. При цьому X називається областю визначення функції (.х — аргумент функції), а У — областю її значень, у
функції. Якщо множини X і Y числові, то функція
то ця множина R відображується на
Закон відповідності, описаний вище, може мати будь-яку форму:
а) аналітичну, тобто у вигляді формули;
б) графічну;
в) у вигляді таблиці;
г) словесну.
1.3. Властивості і класифікація функцій
Функції поділяються на:
а) елементарні;
б) неелементарні (спеціальні функції).
Елементарні, у свою чергу, складаються з: а) основних елементарних, якими є:
б) таких, що утворюються із основних за допомогою алгебраїчних знаків дій і утворення складних функцій (функцій від функцій). Так, |
Так, якщо |
, а відповідність задана за законом
синуса, тобто |
інакше кажучи, функція |
область визначення |
наведеному вище прикладі
Де |
|
— об |
символом |
позначають закон відповідності)
ласть значень |
називається числовою. |
— є елементарною функцією.
Із неелементарних можна указати на факторіал у * яі, п ~ 1,2,3, .» (читається л-факторіал); або |
Функція |
називається періодичною з періодом |
Функція називається зростаючою в інтервалі |
або. тільки зростає, аоо тільки спадає, називається монотонною на |
Функція, яка |
Розрізняють також незростаючу та неопадну функції. Функція називається парною, якщо |
— це множина усіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції. Тобто графік — це множина точок М(х, у), при підстановці координат яких у співвідношенні |
Графік функції |
кожного |
разу приходимо до правильної рівності.
Нулями функції називають точки перетину її графіка з віссю Ох. Так, нулями функції у * sin* є значення х * k • ті, де k є Z.
Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа а називають це число я, якщо воно невід’ємне, і -а, якщо воно від’ємне, тобто:
Геометрично модуль даного дійсного числа а дорівнює відстані від початку відліку до точки на числовій осі, яка зображує це число. |
1.4.1. Властивості модуля |
околом точки х0 називають множину всіх точок х, які задо- |
Околом точки*=х0 є будь-яка множина, яка містить деякий 5-окіл цієї точки. |
— пряма пропорційність
Графіком функції є пряма, яка проходить через початок координат.
. /V
— чисельно дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі (її додатного напряму), або інакше k — кутовий коефіцієнт.
у - kx + b — лінійна залежність (лінійна функція).
квадратична функція |
Графіком функції є парабола.
Графіком функції є гіпербола. |
—обернена пропорційність
Якщо xvx2 — корені квадратного тричлена, то графік функції схематично може бути зображений кривими (параболами) таким чином:
або якщо дійсних коренів немає (тобто D * б2 - 4ас < 0), то
Якщо ж D - 0 (корені рівні, тобто хх * х2), то графіки такі: |
1.6. Перетворення графіків функцій
Якщо графіком функції У “ /(*) є якась крива, то графіком функції у - fix) + b є така ж крива, перенесена по осі Оу на величину ДО вгору, якщо Ь > 0, або вниз, якщо6<0.
Графіком функції у * “ fix - дг0) служить та сама крива АВ, перенесена по осі Ох на величину |*0| вправо, якщо дг0 > 0, або вліво, якщо *о<0-
Приклад. Графік квадратичної функції у - ах* + bx + + с, де після виділення повного квадрата праву частину можна записати у вигляді:
сення цієї кривої вздовж осі Ох на |
отримують із графіка функції у - ах1 за допомогою паралельного перене
або вліво, |
вправо, якщо |
якщо |
вгору, якщо |
або |
і вздовж осі Оу на величину
вниз, якщо |
Так, наприклад, функція у - 2а2 - Зх + 4 матиме своїм графіком параболу у = 2г2, вершина якої паралельним перенесенням переміщена в |
Зауваження про розв язання нерівностей вигляду |
дел:,,х2 — корені квадратного тричлена.
Пошук розв’язання цієї нерівності по суті зводиться до знаходження інтервалів на осі Ох, де графік функції у - ах2 + Ьх+ с розміщений вище (або нижче) по відношенню до осі абсцис.
Приклад. Розв’язати нерівність
Перетворимо квадратний тричлен, використовуючи висновок тео* реми Везу (про подільність многочлена на лінійний двочлен):
1.7. Деякі важливі властивості функцій
Тоді вихідна нерівність матиме вигляд: |
Функція |
називається зростаючою (або спадною) в інтерва |
якщо |
лі |
і |
Функція називається парною тоді і тільки тоді, коли |
Графік парної функції симетрич
ний відносно осі Оу. Функція називається непарною тоді і тільки тоді, коли |
Графік непарноі функції симетричний відносно початку координат. |
Крім того, функція може не належати ні до парних, ні до непарних функцій. ..
Числовою послідовністю називається функція, визначена на мно
жині АГ так, що |
Послідовність вважається заданою, якщо вказано правило, за яким може бути обчислений будь-який її член. Такими є:
а) арифметична прогресія |
тобто послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне і теж число d, яке називається різницею арифметичної прогресії;
б) геометрична прогресія |
тобто послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на постійне число яке називається знаменником геометричної прогресії.
Послідовності бувають скінченними і нескінченними. Так, N є нескінченна арифметична прогресія з різницею 1 (множина натуральних чисел). Прикладами послідовностей можуть бути також часткові суми п перших членів Як арифметичної, так і геометричної прогресій. Так, сума п перших членів: ■ ;
арифметичної прогресії |
геометричної прогресії |
Приклад. Множину N можна вважати нескінченно зростаючу арифметичною професією з </-1.
Для арифметичних і геометричних прогресій доречно говорити Про суму їх перших п членів. Якщо ж число доданків необмежено зростає, то суми арифметично! професії не існує, а геометрична професія може мати суму, якщо lqj< 1 (тобто професія нескінченно спадна), яка знаходиться за формулою:
Ліншшфункціяу-а(рс+ах
— це функція І степеня. Вона монотонно зростає, якщо а0 > 0, і спадає при а0 < 0. Графіки
— прямі
Лінійне рівняння з одним невідомим:
Квадратична функція |
— це раціональна фун |
|
кція II степеня. Графік квадратичної функції — парабола з вершиною |
яка своїми вітками напрямлена вгору (а0 > 0) або
вниз (а0 < 0) по відношенню до осі ординат. у - а*2 + Ьх + с, |
Загальна формула коренів квадратного рівняння: |
Обидва корені дійсні за умови D £ 0. |
2.2.1. Теорема Вієта
Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену. |
2.2.2. Розкладання квадратного тричлена на множники
2.5.1. Загальний вигляд кубічного рівняння |
замість х підставити |
Якщо до рівняння |
то |
воно зводиться до вигляду: |
— якщо d<0— рівняння має три дійсні корені;
— якщо </-0 — три дійсні корені, принаймні два з яких однакові;
— якщо d> 0 — один дійсний корінь і два спряжені комплексні.
2.3.2. Формула Кардано для коренів кубічного рівняння
Розв’язками рівняння у3+jву + ^ « б є: |
2.4.1. Визначення полінома я-го степеня
Степінь цолінома визначається найбільшим степенем х, тобто *л>. |
2.4.2. Додавання поліномів |
Схема дода&ання поліномів: |
2.4.3. Множення поліноюв |
Схема множення поліномів: |
Співвідношення між коренями і коефіцієнтами полінома |
2.4.5. Ділення на (х-а). Правило Руффіїїі |
Результатом ділення полінома |
Беручи до уваги, що при тобто остача від ділення |
многочлена на х-адорівнює значенню многочлена Р„(х) при х * а.
Якщо х-ає коренем многочлена Ря(х),то цей многочлен ділиться на х-абез остачі.
Визначення коефіцієнтів частки і остачі від ділення многочлена Рп(х) тх-а: нехай
Система (*•) дозволяє сформулювати правило Руффіні:
Додаючи до |
остачу R і беручи до уваги (*), дістаємо
систему:
^^^а) коефіцієнт першого члена частки многочлена дорівнює коефіцієнту першого члена діленого;
б) кожний наступний коефіцієнт дістаємо множенням попереднього на а і додаванням відповідного коефіцієнта Р„(х);
в) остача дорівнює добутку останнього коефіцієнта частки на а плюср^. Коефіцієнти, які ми дістали вище, можуть бути обчислені і схематично.
2.5. Властивості функцій. Степенева функція
зростаюча функція
спадна функція строго спадна функція |
непарна функція
парна функція
Оберненою до даної функції у “/(лг) називається така функція х *
- ф(у), яка кожному у із множини значень функції у = /(*) ставить у відповідність єдине число х із її області визначення.
Функція ^ «/(*), яка має обернену, називається оборотною.
Якщо функція у “/(^визначена й монотонна на деякому інтервалі, то на цьому інтервалі вона має обернену функцію у "/■(*)
Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно бісектриси першого координатного кута. |
Арифметичним квадратним коренем з числа а називається таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює : ||
2.5.2. Властивості кореня |
Добуток коренів п-го степеня з а і Ь дорівнює кореню п-го степеня з їх добутку. |
Показник кореня і показник степеня підкореневого виразу можна ділити або множити на одне й те ж число. |
Щоб внести множник під знак радикала, треба піднести його до степеня, показник якого дорівнює показнику кореня. |
2.5.3. ДІЇ зі степенями |
графіки деяких степеневих функцій |
2.6. Показникова функція 2.6.1. Визначення показникової функції
Показникова функція зростає для всіх |
і спадає, |
(Усі значення у додатні — тобто графік показникової функції завжди розміщений вище осі Ох.)
Якщо основою є е - 2,7182818284590.... то дотична, проведена до криво!
утворює з віссю Ох
Область значень |
у точці и перетину з віссю
кут 45*. Крива |
називається експонентою.
— основа натурального логарифма. |
Логарифмом числа N за основою а (а > 0, а * 1) називається показник степеня х, до якого потрібно піднести основу а, щоб дістати число N.
Із означення витікає, що |
є функцією, оберненою по відно
зводиться до добування кореня
якщо відоме а, то шукають показник
шенню до у “в*.
Операція піднесення деякого додатного числа а до степеня має дві зворотні операції. Нехай ax=N(N>0, виходячи із властивостей показникової функції).
Тоді, якщо за відомим Nix шукають а, тобто основу, — ця операція
степеня х.
Якщо за основу (*) вибрано а - 10, то пишуть IgN — десятковий логарифм, якщо а - е, то InN — натуральний логарифм. |
(Дотична до кривої у - In*, проведена у точці х -1, утворює з віссю От кут 45е). |
ма юри іншій оснош
Праш> 1 логарифми чисел, більших за 1, додатні, меншій - аЦ’с-шй;щтв< І логарифми чшсхл, більших за 1, аід'смиї. мсншш - доді-тігі.
Кошящіюштт тгці гтшгг|тппгг за допомогою «кошза пппітн non рифмом числа (виразу) визначається число Це перетворення с оберне* ннм до логврифмуваиня.
2.7.3. Власт—осп логарифмічної функції
Обметь визначення функції: дг>0.
Якщо а > I — функція зростає. Якщо#< 1 * функція cm-две.
Графік логарифмічної функції при будь-якій основі перетинає вісь От у точці х - 1. Із зростай* ням jof крива у - iog^r все більше прилягає д о od Ох.
2.7. Застосування другої границі для побудови графіків
При а > 1 нерівність (*) рівносиль**,л такій системі рівнянь:
Найпростіший шід логарифмічної нерівності: |
Якщо 0 < a < t, то (*) рівносильна такій системі рівнянь:
При а > 1 логарифмічна функція зростає. Тому більшому лопариф. му відповідає і більше значення виразу, який знаходиться під знаком логарифма.
При 0 < a < 1 більшому логарифму відповідає менше значення виразу, який знаходиться під знаком логарифма.
Автор: admin от 8-06-2013, 22:45, Переглядів: 6626