Тотожні перетворення раціональних виразів, раціональні рівняння

Тотожні перетворення раціональних виразів

Означення. Два і більше виразів, відповідні значення яких прн всіх допустимих значеннях змінних, що входять до них, рівні називаються тотожно рівними.

Приклади.

Тотожні перетворення виразів називають перетворенням виразів.

Часто у прикладах умова пропонує спроститивирази — це означає провести тотожні перетворення цих виразів, замінивши їх більш простими.

Означення. Рівність, правильна при всіх допустимих значеннях змінних, що входять до неї, називається тотожністю.

Довести тотожність — це означає виконати в лівій і правій части* нах рівності тотожні перетворення, у результаті яких в обох частинах будуть стояти однакові вирази.

Розкласти на множники — це означає тотожно перетворити вираз, у результаті чого многочлен у даному виразі замінюється на добуток многочленів або одночлена і многочлена.

Скоротити дріб—це означає тотожно перетворити дріб, щоб отримати більш простий вираз.

Приклади. 1. Дано раціональний вираз:

Розв'язання. Подамо 3у2 різницею Ау2-у2 і перепишемо вираз. У трьох останніх одночленів виносимо за дужки знак

у дужках тричлен є квадратом двочлена (за формулами скороченого множення), який ми запишемо замість тричлена:

Застосуємо формулу різниці квадратів для перетворення різниці на добуток:

Зводимо подібні додатки у кожній дужці і виносимо спільний множник із першого множника за дужки:

Усі наведені нижче рівності — рівносильні.

 2. Перетворити на добуток раціональний вираз

Розв’язання.

Многочлен перетворимо на суму двох многочленів і винесемо із другого многочлена спільний числовий множник.

У першому многочлені — формула різниці квадратів, яку замінимо на добуток. У суми двох многочленів з’явився однаковий двочлен, який можна винести як спільний множник за дужки.

3. Перетворити дробовий раціональний вираз (скоротити дріб):

Раціональні рівняння

Рівняння — це рівність, що містить невідоме або невідомі, задані буквами.

Нехай с рівність 2 + 8-=4 + 6. Замінимо 2 на В (х 9 2) і складемо рівняння х + 8 " 2х + 6.

Щоб розв’язати це рівняння, потрібно знайти значеннях, тобто виконати обернену дію. І лише х- 2 може наше рівняння перетворити на рівність. Ніяке інше значення зрівняння на рівність не перетворить. Тому

х - 2 і є розв’язком нашого рівняння, або його коренем. Складання рів. няння за числовою рівністю і розв’язування рівняння — цеє взаємообер-нені перетворення двох виразів, з’єднаних знаком рівності.

Означення. Раціональним називається рівняння, ліва і права частини якого — раціональні вирази. Розв’язком раціонального рівняння називаються ті значення невідомого, які перетворюють це рівняння на правильну числову рівність.

Два і більше рівнянь, які мають однакові корені (однакові значення невідомого), називаються рівносильними рівняннями. Рівняння, які не мають коренів, також називаються рівносильними.

Щоб одержати рівносильне рівняння, можна ліву і праву частини його помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля, або перенести одночлени рівняння з однієї частини в протилежну від знаку рівності (змінивши знак одночлена на протилежний), або до обох частин рівняння додати одне й те саме раціональне число. До будь-якого рівняння можна дібрати багато рівносильних рівнянь.

Приклади рівносильних рівнянь:

Степінь рівняння дорівнює найбільшому степеню його одночленів. Який степінь у рівнянні, стільки ж воно має коренів.

Раціональне рівняння називається дробовим рівнянням, якщо одна з його частин (ліва чи права) або обидві частини рівняння містять дробові вирази.

Якщо дробове рівняння в якійсь частині (зліва чи справа) має нуль, тоді чисельник цього рівняння (дробу) повинен дорівнювати нулю.