Раціональні вирази - Цілі і дробові вирази. Додавання, віднімання, множення і ділення дробів

Цілі і дробові вирази

Означення. Алгебраїчним називається вираз, складений із чисел і змінних за допомогою знаків додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня та за допомогою дужок.

Алгебраїчний вираз, який не містить дії ділення на змінні і добування кореня зі змінних, називається цілим. Будь-який цілий алгебраїчний вираз можна записати у вигляді многочлена. Дробовий алгебраїчний вираз — це вираз, який на відміну від цілого містить ділення на вирази зі змінними. Цілі і дробові вирази називаються раціональними виразами.

Цілий раціональний вираз завжди має числове значення при будь-якому значенні змінної

Дробовий раціональний вираз не має числового значення, якщо вираз у знаменнику дробу при певних значеннях змінної перетворюється на нуль або з самого початку дорівнює нулю.

Значення змінної, при яких вираз має числове значення, називаються допустимими значеннями змінної.

Приклади.

Алгебраїчний вираз, який містить добування кореня зі змінних, на* зивається ірраціональним.

ЦІЛІ і дробові вирази - це види раціональних виразів, які можна

спростити.

 

 

Ділення степенів. Дії зі степенями

Додавання (віднімання) степенів. Додати (відняти) можна тільки одночлени з однаковими основами й однаковими показниками, але з різними коефіцієнтами при степенях. Таке додавання (віднімання) називається зведенням подібних членів у виразі. Воно зводиться до додавання коефіцієнтів одночленів.

Приклад.

Сума степенів з різними основами не зводиться до одночлена. Якщо степені-одночлени мають спільний множник-степінь, то його виносять за дужки, тоді вираз з сумою (різницею) перетворюється на добуток. За дужки виноситься найменший із степенів (степінь з найменшим показником).

Приклад.

Правила множення і ділення степенів виведені з основної властивості степеня, яка читається так: для будь-якого дійсного числа а і довільних натуральних чисел т і п

Основна властивість степеня поширюється на будь-яку кількість співмножників з різними показниками степенів, але однаковими основами.

Множення степенів. При множенні степенів з однаковими основами їх замінюють на новий степінь з тією ж основою і показником, який дорівнює сумі показників степенів, що перемножуються.

Приклад.

При множенні степенів з різними основами степені переписуються множниками один за одним.

Приклал.

Ділення степенів. При діленні степенів з однаковими основами степені замінюються на степінь з тією самою основою і показником, який дорівнює різниці показників діленого та дільника.

Приклад.

Ділення степенів з різними основами зводиться до ділення їх числових коефіцієнтів, а степені записуються алгебраїчним дробом. Приклад.

Якщо степінь знаменника перетворюється на нуль або містить невідоме, числове значення якого дорівнює нулю, то одночлен або вираз не мають числового значення.

Піднесення степеня до степеня. Щоб піднести степінь до степеня (основа степеня може бути не тільки одночленом), треба замінити степінь на інший з тією ж основою і з показником, який дорівнює добутку показників.

Приклад.

 

 

 

Дроби

Дроби або відношення, які містять невідомі (букву чи буквені вирази) в чисельнику чи знаменнику, не можна записати цілим виразом, не підставивши значення невідомого (букви). Якщо букви діленого і дільника (чисельника і знаменника) є спільним множником, то тоді, сиротивши на цей множник (якщо він не дорівнює 0), можна дробовий раціональний вираз перевести у цілий або числовий вираз чи спростити.

Для чисельника дробу допустимими є всі значення змінних, а для знаменника — тільки ті, які не перетворюють знаменник на нуль.

Окремий випадок раціонального дробу — це звичайний дріб.

Значенням дробу є його перетворення на число (числовий вираз). Щоб перетворити дріб, використовують закони додавання і множення, основну властивість дробу, формули скороченого множення.

Розв’язуючи даний дріб, потрібно обумовити, що значення невідомих (числового чи буквеного виразу) у знаменнику не дорівнюють нулю. Якщо знаменник дорівнює нулю чи перетворюється після виконання всіх дій на нуль, то дріб не має числового значення. Оскільки скорочувати чисельник і знаменник дробу можна тільки на множники (на доданок дріб скорочувати не можнаї), то перетворення дробів зводиться до виокремлення, якщо це можливо, спільного множника у чисельнику і знаменнику дробу.

Приклад.

Основна властивість дробу

Правило. Якщо чисельник і знаменник дробу помножити чи поділити на одне й те саме число або вираз, що не дорівнює 0, то дістанемо ціле число (вираз) чи дріб, тотожно рівні заданому дробу.

Приклади. Чисельник і знаменник дробу — многочлени:

Використовуючи основну властивість дробу в перетворенні дробів, ми помножили чисельник і знаменник дробу на вираз — многочлен (*+ у) і в чисельнику та знаменнику дістали добуток двочленів.

За формулами скороченого множення перетворили у тотожний до заданого дробу (різниця квадратів у чисельнику і квадрат суми у знаменнику).

Дріб має числове значення при всіх значеннях, крім х - -у.

Для перетворення заданого алгебраїчного дробу в чисельнику двочлен замінили на добуток одночлена і двочлена (винесли за дужки 2) і скоротили дріб на спільний множник {х + 2а). За основною властивістю дробу, скоротивши чисельник і знаменник на спільний множник, одержали ціле число, тотожне заданому дробу.

Означення. Скоротити дріб — це значить поділити чисельник і знаменник дробу на одней те саме число або вираз, виключивши значення змінних, які перетворюють знаменник заданого дробу на нуль.

Додавання і віднімання дробів

Додавання (віднімання) дробів виконується за правилами додавання (віднімання) звичайних дробів.

Доданками, зменшуваним і від’ємником в чисельнику або знаменнику дробу можуть бути будь-які раціональні числа або вирази із змінними. Винятки становлять число 0 і вирази, які перетворюють знаменник на 0.

Прав и л о. Щоб додати (відняти) дроби з однаковим знаменником, що не дорівнює нулю, слід додати (відняти) їх чисельники і залишити той самий знаменник.

Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками, що не дорівнюють нулю, слід знайти спільний знаменник дробів і додаткові множники. Помножити чисельники на додаткові множники і взяти добутки доданками (від першого добутку відняти другий), залишивши загальний знаменник під сумою (різницею).

Приклади.

1. Сума дробів, у яких знаменники однакові (добуток одночлена на многочлен), а чисельники: у першого дробу — многочлен, у другого дробу — одночлен.

Оскільки знаменники дробів однакові, то додамо чисельники дробів і підпишемо той самий знаменник.

У чисельнику вираз

можна замінити за формулами скороченого множення на квадрат двочлена, оскільки, використовуючи переставний закон додавання, тричлен можна записати як

Квадрат будь-якої основи є добуток двох однакових співмножників, тому в чисельнику замість квадрата суми запишемо добуток однакових двочленів, один із яких можна скоротити з таким же двочленом у знаменнику.

Сума має числове значення при будь-яких д, крім а * 0, х - -у.

2. Різниця двох дробів з однаковими знаменниками. Чисельники і знаменники обох дробів — многочлени.

У чисельнику дробу зведемо подібні, а в знаменнику тричлен замінимо за формулою скороченого множення на квадрат різниці, який можна записати як добуток двох однакових множників:

Чисельник і знаменник мають однаковий множник — двочлен, на який їх можна за основною властивістю дробу скоротити. Розв’язок буде правильним при всіх значеннях а і Ь, крім а - Ь.

3. Сума двох дробів з однаковими знаменниками, які подані одночленами в чисельниках і многочленом — у знаменниках.

У чисельнику суму кубів замінимо за формулою скороченого множення на добуток двочлена і тричлена.

Скоротимо спільний двочлен чисельника і знаменника за основною властивістю дробу.

Результатом є цілий вираз:

4. Різниця алгебраїчних дробів із різними знаменниками, у яких чисельники і знаменники — одночлени.

Знайдемо спільний знаменник дробів як добуток основ з найменшими показниками степенів. Проставимо додаткові множники.

ПОмножимо одночлени числівників на їх додаткові множники і запишемо добуток різницею одночленів, а у знаменнику — спільний знаменник.

Із чисельника виносимо спільний множник (2) і запишемо чисельник як добуток одночлена на многочлен.

Подальші перетворення неможливі, дріб має числове значення при всіх значеннях змінних, за винятком х - у - 0.

5. Сума дробів з різними знаменниками, у яких чисельники і знаменники — многочлени.

Спільний знаменник дробів дорівнює добутку їх знаменників. Проставимо додаткові множники, помножимо чисельники на їх додаткові множники і добуток візьмемо сумою. Підпишемо під чисельником спільний знаменник.

Перемножимо в чисельниках многочлени і запишемо одним многочленом. У знаменнику добуток двочленів за формулою скороченого множення перетворимо на многочлен (різниця квадратів):

Зведемо подібні доданки в чисельнику:

Утворився дріб, у якого в чисельнику і знаменнику двочлени.

Із чисельника можна винести спільний множник (2), але це не спростить дріб.

Усі дійсні значення невідомих будуть розв’язком дробу, крім    ±y_t

яке перетворює знаменник на 0.

6. Різниця дробів з різними знаменниками, у яких чисельники — многочлени, а знаменники — одночлени.

Зведемо дроби до спільного знаменника (4ас) і проставимо додаткові множники. Помножимо додаткові множники на чисельники і візьмемо суму добутків чисельником, змінивши знак на протилежний у всіх одночленів добутку у від’ємнику, підписавши той самий спільний знаменник:

Зведемо подібні члени в чисельнику дробу. Винесемо загальний множник (3) за дужки, а в дужки зберемо достачі» одночленів. У різниці ми одержали в чисельнику добуток числа і тричлена, а в знаменнику — одночлен:

Розв’язок різниці дробів закінчено, обчислити одержаний дріб можна при будь-яких значеннях невідомих, крім а — с~0.

Множення і ділення дробів

Правило. Щоб перемножити дроби, достатньо перемножити окремо їх чисельники і окремо — знаменники, перший добуток взяти чисельником, а другий — знаменником дробу.

Правило множення дробів однакове для будь-якої кількості множників. Особливості множення дробів полягають у перетворенні одержаних добутків чисельника і знаменника.

Через наявність змінних у дробу слід звернути увагу на знаменник і визначити ті значення змінних, які перетворюють знаменник добутку на нуль. Такі значення змінних виводяться за поле допустимих значень.

Щоб обчислити числове значення добутку, потрібно підставити у добуток значення змінних з поля допустимих значень, виключивши значення змінних, що перетворюють знаменник на нуль.

При множенні степенів з однаковими основами показники складаються.

При множенні степенів з різними основами всі степені записуються

множниками.

Розглянемо множення дробів на прикладах.

Приклади.

1. Множення двох дробів, у яких чисельники і знаменники — одночлени.

Оскільки в чисельнику і знаменнику лише одночлени, то можна добутки в чисельнику і знаменнику скоротити на однакові множники. Розв’язок дробу задовольняють усі значення змінних, крім a = b—с ^m 0.

2. Множення двох дробів, у яких у чисельниках і знаменниках одночлени і многочлени.

У чисельнику і знаменнику одержали добутки одночлена і многочлена. Слід, використовуючи основні властивості дробу, скоротити спільні множники одночленів.

У чисельнику многочлен різниці кубів потрібно розкласти на добуток за формулою скороченого множення:

При обчисленні добутку одержано дріб, у якого в чисельнику многочлен, а в знаменнику — одночлен. Допустимі значення змінної а виключають а = 0, яке перетворює знаменник на нуль.

3. Множення многочленів з дробами.

Для обчислення добутку необхідно спочатку перетворити вирази в дужках. Помножимо чисельники різниці (замінивши у другого дробу знак чисельника на протилежний) і суми (другий чисельник зі своїм знаком) на додаткові множники і запишемо одержані добутки у чисельниках, під кожним дробом підписавши відповідний спільний знаменник.

Дужки не потрібні, тому що немає суми і різниці дробів, а є два дробових множники.

У вага! При множенні і діленні дробів із многочленами в чисельнику ізнаменнику частіше за все слід міняти знаки в одному або кількохмногочленах

(або чисельника, або знаменника) для того, шоб скоротити чисельник

і знаменник. «Можна поміняти знаки в одному многочлені

(чисельнику або знаменнику) на протилежні, а перед дробом дописати

знак "-"

Ділення дробів подібне до ділення звичайних дробів,

 

 

тобто дія ділення заміняється дією множення діленого на дріб, обернений до дільника.

Обернений до даного дробу — це дріб, у я кого чиселььник і знаменник поміняли місцями.

Щоб не проводити заміни дробів на обернені, можна при діленні двох дробів чисельник першого дробу помножити на знаменних другого, а знаменник другого дробу — на чисельник першого дробу, перший добуток взяти чисельником, а другий — знаменником

 

 

Замінити другий дрібна обернений і переписати перший Д| :б і <Л рнений дріб множниками. За основною властивістю дробу скоротиш чисельник і знаменник на спільні множники.

Результуючий дріб складається із степенів в чисельнику | знаменним

У первій дужці  (діленому) знайдемо спільний знаменник доданків і проставимо додаткові множники.

Помножимо чисельник діленого на додаткові множники і запишемо добутки сумою в чисельнику дільника, а в знаменнику - той самий знаменни дробу. Помножимо перший дріб на дріб, обернений до дільника.

Скоротили чисельник і знаменник дробу на спільний множник.

У результаті перетворень дістали дробовий вираз - добуток

двочленів у чисельнику і двочлен у знаменнику. Область

допустимих значень змінної обмежено значеннями с = -7,

с не дорівнює +-1

3. Ділення дробів із многочленами в чисельнику і знаменнику

 

 

Замінимо дріб дільника на обернений дріб і ділення двох дробів -

на множення дробу діленого і дробу, оберненого до дільника.

Різниці квадратів у чисельниках за формулами скороченого

множення замінимо на добутки. У знаменниках одночлени згрупуємо

по два і винесемо із кожної пари спільний множник за дужки,

перетворивши многочлени в суму і різницю добутків

одночлена і многочлена.

 

 Із многочленів знаменників виносимо спільні множники (дужки)

за дужк, перетворюючи многочлени в добутки двочленів.

Оскільки ділення замінено на множення, то обидва дроби

можна записати під однією рискою.

 Проведемо скорочення чисельника і знаменника

на спільні множники:

 

Результатом перетворень став дріб із добутком двочленів у чисельнику і різницею квадратів у знаменнику.

При діленні і множенні дробів зі знаками «мінус» перед дробом:

1)    Якщо дріб із знаком «-», то мінус враховується лише один раз: у чисельнику або в знаменнику дробу, або перед усім дробом.

2)    Якщо кількість мінусів перед дробом при множенні або діленні від’ємних дробів парна, то в добутку або частці буде знак «+», якщо непарна — знак «-».

Приклади.

1. Ділення двох дробів, дільник — від’ємний дріб.

Мінус дробу дільника перенесемо до чисельника дробу, змінивши знаки у двочлена на протилежні (поміняємо одночлени місцями зберігши різницю одночленів):

2. Ділення двох дробів, ділене — від’ємний дріб.

Мінус перед діленим перенесемо у знаменник дробу, у зв’язку з чим двочлен у знаменнику змінить знаки своїх одночленів на протилежні. Поміняємо одночлени місцями, зберігши різницю у многочлені:

3. Ділення двох від’ємних дробів.

При діленні двох дробів зі знаком «мінус», згідно з правилом знаків, перед часткою ставиться знак «плюс», тому дроби діленого і дільника можна записати часткою зі знаками «+» діленого і дільника:

4. Множення двох дробів, у яких один із множників — від’ємний

дріб.

Другий множник — від’ємний дріб. Перенесемо знак «-» у чисельник дробу, замінивши знаки двочлена на протилежні (поміняємо одночлени двочлена місцями):

5. Множення двох від’ємних дробів.    ^ і

Оскільки перемножуються два дроби зі знаком «-», то в добутку

Заданий добуток можна замінити на добуток двох додатних ДР⁰®^

a-b (2a+lV a-b2o+la+6 \ а²-Ь^г) a+b а²-Ь*‘

1.6. Піднесення дробів до степеня

Правило. Щоб піднести алгебраїчний дріб до степеня, треба до степеня піднести окремо чисельник і знаменник дробу, перший степінь взяти чисельником, а другий — знаменником дробу.

Приклади.

Якщо у степінь підноситься дріб з одночленами в чисельнику і знаменнику, то кожний множник підноситься до цього степеня. Приклад.

Якщо до степеня підносяться двочлени в чисельнику і знаменнику дробу, то використовуються формули скороченого множення. Приклад.

Куб різниці і куб суми двочленів записані за формулами скороченого множення.

Якщо дріб у степені, більшому за 3, то піднесення до степеня вимагає навичок використання тих самих формул скороченого множення, а часто і приведення виразу до добутку однакових співмножників разом із використанням відомих формул скороченого множення або поетапного піднесення степеня до степеня.

Приклад.

У знаменнику двочлен записати як степінь у степені. Піднести до квадрата двочлен за формулою квадрата різниці.

Об’єднуємо два одночлени в один вираз і обчислюємо квадрат суми двох виразів:___,

Зведемо подібні члени у знаменнику: