Логічні вирази. Змінні логічного типу. Логічні операції

1. Що таке висловлювання? Яке висловлювання вважається істинним, а яке -хибним?

2. Які ви знаєте властивості змінної?

3. Що визначає тип змінної? Які ви знаєте типи числових змінних?

ВИСЛОВЛЮВАННЯ ЯК ЛОГІЧНИЙ ВИРАЗ

Ви вже знаєте, що висловлювання - це речення, яке містить твердження про певний об’єкт або про зв’язки між об’єктами і про яке можна одно-

значно сказати, істинне воно чи хибне. Прикладом істинного висловлювання є, наприклад, висловлювання «Київ - столиця України», а прикладом хибного - висловлювання «3 > 5».

Основною властивістю висловлювання є його істинність. Якщо висловлювання інстинне, то вважають, що значення його властивості істинність дорівнює true (англ. true - правда). Якщо висловлювання хибне, то вважають, що значення його властивості істинність дорівнює false (англ. false - хиба, хибність).

Тобто значення властивості істинність висловлювань: «Київ - столиця України», «2 * 5 - 4 = 6», «4 < 12» дорівнює true, значення властивості істинність висловлювань: «Цей підручник для учнів сьомого класу», «2 * 7 + 3 = 12», «3 > 5» дорівнює false.

Висловлювання можна розглядати як логічний вираз.

Логічним виразом називають вираз, який може набувати одне з двох значень: true або false.

Якщо висловлювання істинне, то вважають, що значення відповідного логічного виразу дорівнює true. Тобто, «Київ - столиця України» = true, (2 * 5 - 4 = 6) = true, (4 < 12) = true.

Якщо висловлювання хибне, то вважають, що значення відповідного логічного виразу дорівнює false. Тобто «Це підручник для учнів сьомого класу» = false, (2 * 7 + 3 = 12) = false, (3 > 5) = false.

ЗМІННІ ЛОГІЧНОГО ТИПУ

Значення логічного виразу можна присвоювати певній змінній. Тобто можна використовувати такі команди присвоювання: x := 2 + 12/3 = 6, У := 32 < 13. Тоді змінна х має значення true, а змінна у має значення false.

Змінні, які можуть набувати одне з двох значень true або false, називають змінними логічного типу.

Логічний тип змінних позначається boolean. Наприклад, var x, y: boolean.

Часто для змінних логічного типу використовуються команди x := true або x := false.

Змінні логічного типу також вважаються логічними виразами.

ОПЕРАЦІЇ НАД ЛОГІЧНИМИ ВИРАЗАМИ

Над логічними виразами можна виконувати логічні операції: заперечення, кон’юнкція (лат. conjunctio - об’єднання), диз’юнкція (лат. disjunctio - роз’єднання) та ін.

Запереченням логічного виразу x називають логічний вираз, значення якого дорівнює true, якщо значення логічного виразу x дорівнює false, і дорівнює false, якщо значення логічного виразу x дорівнює true.

Заперечення логічного виразу x позначають not x.

Тобто якщо x = true, то not x = false, і якщо x = false, то not x = true.

Можна скласти таку таблицю, яку називають таблицею істинності для операції заперечення.

Для утворення заперечення висловлювання часто використовують частку не. Наприклад, запереченням висловлювання А = «Існує найбільше просте число» є висловлювання not A = «Не існує найбільшого простого числа».

Інколи заперечення логічного виразу x позначають x або ^x.

Кон’юнкцією двох логічних виразів x і у називають логічний вираз, значення якого є true, якщо значення кожного з логічних виразів x і у є true; і є false, якщо значення хоча б одного з логічних виразів x або у є false.

Кон’юнкція двох логічних виразів x і у позначається x and у (англ. and - і, та).

Для утворення кон’юнкції двох висловлювань часто використовують сполучник і. Наприклад, висловлювання «Число 36 кратне 3 і число 36 кратне 2» є кон’юнкцією двох висловлювань: «Число 36 кратне 3» та «Число 36 кратне 2».

Інколи кон’юнкція двох логічних виразів x і у позначається x л у.

Диз’юнкцією двох логічних виразів x і у називають логічний вираз, значення якого є true, якщо значення хоча б одного з логічних виразів x або у є true; і є false, якщо значення кожного з логічних виразів x і у є false.

Диз’юнкція двох логічних виразів x і у позначається x or у (англ. or -або).

Для утворення диз’юнкції висловлювань часто використовують сполучник або. Наприклад, висловлювання «11 J 21» (11 менше або дорівнює 21) є диз’юнкцією двох висловлювань: «11 < 21» та «11 = 21».

Інколи диз’юнкція двох логічних виразів x і у позначається x v у.

Часто використовують логічні вирази, що містять кілька логічних операцій. Наприклад: (x or у) and (x or z).

У таких виразах для логічних операцій, розглянутих вище, визначено такий пріоритет виконання операцій: спочатку виконуються операції заперечення, потім - операції кон’юнкції, потім - операції диз’юнкції. Для змінення цього порядку виконання логічних операцій використовують дужки.

Для обчислення значень логічного виразу можна використати таблицю істинності. У ній потрібно розглянути всі можливі значення змінних логічного типу, що входять до цього виразу.

Означення операцій над змінними логічного типу і властивості цих операцій сформулював англійський математик та філософ Джордж Буль (1815-1864) (мал. 6.17). У 1854 р. вийшла його основна робота «Дослідження законів думки, на яких засновано математичні теорії логіки та ймовірності». У ній досліджується система, яку сьогодні називають «алгеброю висловлень» або «булевою логікою». Булева логіка стала основним математичним інструментом для створення комп'ютерів.

Логічним виразом називають вираз, який може набувати одне з двох значень: true або false.

Висловлювання є прикладом логічного виразу. Якщо висловлювання істинне, то вважають, що значення відповідного логічного виразу дорівнює true. Якщо висловлювання хибне, то вважають, що значення відповідного логічного виразу дорівнює false.

Змінні, які можуть набувати одне з двох значень true або false, називають змінними логічного типу. Логічний тип змінних позначається boolean. Змінні логічного типу також вважаються логічними виразами.

Таблиця істинності для диз'юнкції

У логічних виразах для логічних операцій, розглянутих вище, визначено такий пріоритет виконання операцій: спочатку виконуються операції заперечення, потім - операції кон’юнкції, потім - операції диз’юнкції. Для змі-нення цього порядку виконання логічних операцій використовують дужки.

Для обчислення значень логічного виразу можна використати таблицю істинності. У ній потрібно розглянути всі можливі значення змінних логічного типу, що входять до цього виразу.

Дайте відповіді на запитання

1°. Який вираз називають логічним? Наведіть приклади 2°. Які змінні називають змінними логічного типу?

3°. Як описуються змінні логічного типу?

4*. Що таке заперечення логічного виразу?

5*. Що таке кон’юнкція двох логічних виразів?

6*. Що таке диз’юнкція двох логічних виразів?

7°. Яким є пріоритет виконання логічних операцій?

8*. Що вивчає наука логіка?

Виконайте завдання

1°. Укажіть порядок виконання логічних операцій у логічних виразах:

а)    a or not a and b;

б)    not a or not b and a;

в)    (a or not b) and (not a or not b); r) not a and not b or c and d.

2*. Складіть таблиці істинності логічних виразів зі змінними логічного типу а і Ь:

а)    a or    a and b;    r) not a or not b;

б)    a or    not a and b;    д) (a or not b) and (a or not b);

в) a or    b or not b;    e) a and not b or not a and b.

3*. Сформулюйте заперечення висловлювань та з’ясуйте їх істинність:

а)    Число 3 є дільником числа 545.

б)    Автомобіль не має права їхати на червоне світло.

в)    Існують паралелограми з прямими кутами.

г) Рівняння 2х² - 3х + 1 = 0 має цілий корінь.

д)    Не існує натурального числа, що ділиться на 2.

е) Існує ціле число, яке ділиться на всі цілі числа.

4*. Серед зазначених висловлювань знайдіть кон’юнкції і диз’юнкції та визначте їх істинність:

а)    Число 27 кратне 3 і кратне 9.

б)    17 < 42 < 18.

в)    Число 2 просте або парне.

г)    ABC є гострокутним, прямокутним або тупокутним.

д)    Д іагоналі будь-якого паралелограма перпендикулярні і точкою перетину поділяються навпіл.

е) 7² = 49 і (-7)² = 49.    є) 21 J 21. ж) 21 J 18.

5*. Нехай А = «Сергієнко вивчає англійську мову», В = «Сергієнко має оцінку 8 з інформатики». Сформулюйте висловлювання:

а)    A and not B    в) A or not A and B

б)    not A or B    г) not A and not B and A

6*. Визначте істинність або хибність висловлювань для наведених значень змінних:

1.    «х > 0 і у > 0 або х < 0 і у < 0»

2.    «х > 0 і не у < 0 або х < 0 та у > 0»

Значення змінних:

а)    х = 5, у = 8;

б)    х = 5, у = -8;

в)    х = -5, у = 8;

г)    х = -5, у = -8.

Це матеріал з підручника Інформатика 8 клас Ривкінд