Функціональна залежність » Народна Освіта


Народна Освіта » Математика » Алгебра » Функціональна залежність






Функціональна залежність

Основні поняття й означення

Основними поняттями в математиці є: «множина», «натуральне число*,«точка», «пряма», «площина», «відстань» і т. д.

Множини

Означення поняття «множина не існує. Прикладами множин можуть бути:

а)    множина учнів у класі;

б)    множина коренів квадратного рівняння;

в)    множина трикутників, які мають одну й ту ж основу і висоту, і т. д. Тут множини а) і б) — скінченні; множина в) — складається із незліченної кількості елементів. Існує також поняття порожньої множини, тобто множини, яка не містить у собі жодного елемента (позначається

символом

 

Розглянемо основні числові множини:

множина цілих чисел;

 

множина натуральних чисел;

 

множина раціональних чисел.

 

Інакше кажучи, раціональними є числа, які можна подати у вигляді відношення*цілого і натурального чисел (тобто у вигляді звичайного дробу) або у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу. Числа, які зображуються нескінченними десятковими неперіодичними дробами,

 

складають множину ірраціональних чисел. Так,

раціональними;

ірраціональні числа.

 

R — множина дійсних чисел, яка об’єднує раціональні й ірраціональні числа.

 

 

— множина комплексних чисел.

 

Числова пряна (або числова вісь) — це пряма, на якій вибрані початок відліку, додатний напрямок і одиниця масштабу.

Між точками числової осі й дійсними числами існує взаємно-однозначна відповідність: кожному дійсному числу відповідає точка на цій осі і навпаки (теорема Кантора). МножиниN,Z,Qe підмножинамиR, тобто є його частинами. У той же часЛс: С, бо С геометрично можна подати як множину точок М (а; Ь) площини, а Я, як було зазначено вище, як множину точок прямої, яка є частиною площини.

1.1.2. Операції над множинами

Множини вважаються рівними, якщо складаються з одних і тих самих елементів. Нескінченні множини можуть порівнюватись між собою за їхньою потужністю.

Існують множини, що порівнюються з множиною натуральних чисел, які називаються зчисленними (найменш потужні з нескінченних множин), а також множини потужності континуума (наприклад R або С) — у «незчисленну кількість» разів потужніші, ніж зчисленні. Інших множин проміжної потужності між зчисленним і потужності континуума не існує (І проблема Гільберта). Множина Q є зчисленною, тоді як множина ірраціональних чисел незчисленна.

Якщо для прикладу уявити, що всі точки відрізка числової прямої

так і

 

від 0 до 1, які зображують як раціональні (скажімо,

ірраціональні

 

числа, є мініатюрними кульками, що розта

 

шовані уздовж відрізка одна біля одної і мають спільну вагу 1 грам, а потім «просіяти» раціональні числа, щоб залишилися лише кульки, які зображують ірраціональні, і знов «зважити», то їхня «вага» складе рівно 1 грам.

1.2. Функціональна залежність

Нехай дано дві множини X і Y. Якщо кожному значенню елемента х є X якимсь чином відповідає єдине певне значення елемента у є К, То цим самим задане відображення множини X на Y, або на множині у задана певна функція

 

 

- це закон, за яким кожному елементу* і Xвідповідає єдиний елемент у є Y. При цьому X називається областю визначення функції (.х — аргумент функції), а У — областю її значень, у

 

функції. Якщо множини X і Y числові, то функція

 

то ця множина R відображується на

 

Закон відповідності, описаний вище, може мати будь-яку форму:

а)    аналітичну, тобто у вигляді формули;

б)    графічну;

в)    у вигляді таблиці;

г)    словесну.

1.3. Властивості і класифікація функцій

Функції поділяються на:

а)    елементарні;

б)    неелементарні (спеціальні функції).

Елементарні, у свою чергу, складаються з: а) основних елементарних, якими є:

 

б) таких, що утворюються із основних за допомогою алгебраїчних знаків дій і утворення складних функцій (функцій від функцій). Так,

 

Так, якщо

 

, а відповідність задана за законом

 

синуса, тобто

 

 

інакше кажучи, функція

 

 

область визначення

 

наведеному вище прикладі

 

Де

— об

 

символом

 

позначають закон відповідності)

 

ласть значень

 

називається числовою.

 

— є елементарною функцією.

 

Із неелементарних можна указати на факторіал у * яі, п ~ 1,2,3, .» (читається л-факторіал); або

 

Функція

 

 

називається періодичною з періодом

 

 

Функція називається зростаючою в інтервалі

або. тільки зростає, аоо тільки спадає,

називається монотонною на

 

Функція, яка

 

 

Розрізняють також незростаючу та неопадну функції.

Функція називається парною, якщо

— це множина усіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції. Тобто графік — це множина точок М(х, у), при підстановці координат яких у співвідношенні

 

 

Графік функції

 

кожного

 

разу приходимо до правильної рівності.

 

Нулями функції називають точки перетину її графіка з віссю Ох. Так, нулями функції у * sin* є значення х * k • ті, де k є Z.

1.4. Модуль дійсного числа

Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа а називають це число я, якщо воно невід’ємне, і -а, якщо воно від’ємне, тобто:

 

Геометрично модуль даного дійсного числа а дорівнює відстані від початку відліку до точки на числовій осі, яка зображує це число.

 

1.4.1. Властивості модуля

околом точки х0 називають множину всіх точок х, які задо-

Околом точки*=х0 є будь-яка множина, яка містить деякий 5-окіл цієї точки.

1.5. Функції і графіки

 

— пряма пропорційність

 

Графіком функції є пряма, яка проходить через початок координат.


. /V

— чисельно дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі (її додатного напряму), або інакше k — кутовий коефіцієнт.

у - kx + b — лінійна залежність (лінійна функція).

квадратична функція

Графіком функції є парабола.

 

 

Графіком функції є гіпербола.

 

—обернена пропорційність

 

 

Якщо xvx2 — корені квадратного тричлена, то графік функції схематично може бути зображений кривими (параболами) таким чином:

або якщо дійсних коренів немає (тобто D * б2 - 4ас < 0), то

Якщо ж D - 0 (корені рівні, тобто хх * х2), то графіки такі:

1.6. Перетворення графіків функцій

Якщо графіком функції У “ /(*) є якась крива, то графіком функції у - fix) + b є така ж крива, перенесена по осі Оу на величину ДО вгору, якщо Ь > 0, або вниз, якщо6<0.

 

Графіком функції у * “ fix - дг0) служить та сама крива АВ, перенесена по осі Ох на величину |*0| вправо, якщо дг0 > 0, або вліво, якщо *о<0-

 

Приклад. Графік квадратичної функції у - ах* + bx + + с, де після виділення повного квадрата праву частину можна записати у вигляді:

сення цієї кривої вздовж осі Ох на

 

отримують із графіка функції у - ах1 за допомогою паралельного перене

 

або вліво,

 

вправо, якщо

 

якщо

 

вгору, якщо

 

або

 

і вздовж осі Оу на величину

 

вниз, якщо

 

Так, наприклад, функція у - 2а2 - Зх + 4 матиме своїм графіком параболу у = 2г2, вершина якої паралельним перенесенням переміщена в

Зауваження про розв язання нерівностей вигляду

дел:,,х2 — корені квадратного тричлена.

Пошук розв’язання цієї нерівності по суті зводиться до знаходження інтервалів на осі Ох, де графік функції у - ах2 + Ьх+ с розміщений вище (або нижче) по відношенню до осі абсцис.

Приклад. Розв’язати нерівність

Перетворимо квадратний тричлен, використовуючи висновок тео* реми Везу (про подільність многочлена на лінійний двочлен):

1.7. Деякі важливі властивості функцій

Тоді вихідна нерівність матиме вигляд:

 

Функція

 

називається зростаючою (або спадною) в інтерва

 

якщо

 

лі

 

і

 

Функція називається парною тоді і тільки тоді, коли

 

Графік парної функції симетрич

 

ний відносно осі Оу.

Функція називається непарною тоді і тільки тоді, коли

Графік непарноі функції симетричний відносно початку координат.

Крім того, функція може не належати ні до парних, ні до непарних функцій.    ..

1.8. Числові послідовності

Числовою послідовністю називається функція, визначена на мно

жині АГ так, що

Послідовність вважається заданою, якщо вказано правило, за яким може бути обчислений будь-який її член. Такими є:

 

а) арифметична прогресія

 

тобто послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне і теж число d, яке називається різницею арифметичної прогресії;

 

б) геометрична прогресія

 

тобто послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на постійне число яке називається знаменником геометричної прогресії.

Послідовності бувають скінченними і нескінченними. Так, N є нескінченна арифметична прогресія з різницею 1 (множина натуральних чисел). Прикладами послідовностей можуть бути також часткові суми п перших членів Як арифметичної, так і геометричної прогресій. Так, сума п перших членів:    ■ ;

арифметичної прогресії

геометричної прогресії

Приклад. Множину N можна вважати нескінченно зростаючу арифметичною професією з </-1.

Для арифметичних і геометричних прогресій доречно говорити Про суму їх перших п членів. Якщо ж число доданків необмежено зростає, то суми арифметично! професії не існує, а геометрична професія може мати суму, якщо lqj< 1 (тобто професія нескінченно спадна), яка знаходиться за формулою:

2. РІВНЯННЯ І ФУНКЦІЇ

2.1. Лінійна функція

 

Ліншшфункціяу-а(рс+ах

—    це функція І степеня. Вона монотонно зростає, якщо а0 > 0, і спадає при а0 < 0. Графіки

—    прямі

Лінійне рівняння з одним невідомим:

Квадратична функція

— це раціональна фун

кція II степеня. Графік квадратичної функції — парабола з вершиною

яка своїми вітками напрямлена вгору (а0 > 0) або

 

вниз (а0 < 0) по відношенню до осі ординат. у - а*2 + Ьх + с,

 

Загальна формула коренів квадратного рівняння:

 

Обидва корені дійсні за умови D £ 0.

 

2.2.1. Теорема Вієта

Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

2.2.2. Розкладання квадратного тричлена на множники

2.5.1. Загальний вигляд кубічного рівняння

замість х підставити

Якщо до рівняння

 

то

 

воно зводиться до вигляду:

—    якщо d<0— рівняння має три дійсні корені;

—    якщо </-0 — три дійсні корені, принаймні два з яких однакові;

—    якщо d> 0 — один дійсний корінь і два спряжені комплексні.

2.3.2. Формула Кардано для коренів кубічного рівняння

Розв’язками рівняння у3+jву + ^ « б є:

2.4. Поліноми (многочлени)

2.4.1. Визначення полінома я-го степеня

Степінь цолінома визначається найбільшим степенем х, тобто *л>.

 

2.4.2. Додавання поліномів

 

Схема дода&ання поліномів:

 

 

2.4.3. Множення поліноюв

 

Схема множення поліномів:

 

2.4.4. Діленші Поліномів

Співвідношення між коренями і коефіцієнтами полінома

2.4.5. Ділення на (х-а). Правило Руффіїїі

Результатом ділення полінома

Беручи до уваги, що при

тобто остача від ділення

многочлена на х-адорівнює значенню многочлена Р„(х) при х * а.

Якщо х-ає коренем многочлена Ря(х),то цей многочлен ділиться на х-абез остачі.

Визначення коефіцієнтів частки і остачі від ділення многочлена Рп(х) тх-а: нехай

Система (*•) дозволяє сформулювати правило Руффіні:

Додаючи до

 

остачу R і беручи до уваги (*), дістаємо

 

систему:

 

^^^а) коефіцієнт першого члена частки многочлена дорівнює коефіцієнту першого члена діленого;

 

б)    кожний наступний коефіцієнт дістаємо множенням попереднього на а і додаванням відповідного коефіцієнта Р„(х);

в)    остача дорівнює добутку останнього коефіцієнта частки на а плюср^. Коефіцієнти, які ми дістали вище, можуть бути обчислені і схематично.

2.5. Властивості функцій. Степенева функція

зростаюча функція

 

сгрого зростаюча функція

спадна функція

строго спадна функція

непарна функція

парна функція

 

Оберненою до даної функції у “/(лг) називається така функція х *

- ф(у), яка кожному у із множини значень функції у = /(*) ставить у відповідність єдине число х із її області визначення.

Функція ^ «/(*), яка має обернену, називається оборотною.

Якщо функція у “/(^визначена й монотонна на деякому інтервалі, то на цьому інтервалі вона має обернену функцію у "/■(*)

Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно бісектриси першого координатного кута.

2.5.1 .Арифметичний корінь

Арифметичним квадратним коренем з числа а називається таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює    : ||

2.5.2. Властивості кореня

Добуток коренів п-го степеня з а і Ь дорівнює кореню п-го степеня з їх добутку.

Показник кореня і показник степеня підкореневого виразу можна ділити або множити на одне й те ж число.

Щоб внести множник під знак радикала, треба піднести його до степеня, показник якого дорівнює показнику кореня.

2.5.3. ДІЇ зі степенями

 

графіки деяких степеневих функцій

 

2.6. Показникова функція 2.6.1. Визначення показникової функції

 

Показникова функція зростає для всіх

 

 

і спадає,

 

 

(Усі значення у додатні — тобто графік показникової функції завжди розміщений вище осі Ох.)

Якщо основою є е - 2,7182818284590.... то дотична, проведена до криво!

 

утворює з віссю Ох

 

Область значень

 

 

 

у точці и перетину з віссю

 

кут 45*. Крива

 

називається експонентою.

 

— основа натурального логарифма.

2.7. Логарифмічна функція

 

2.7.1. Логарифми

Логарифмом числа N за основою а (а > 0, а * 1) називається показник степеня х, до якого потрібно піднести основу а, щоб дістати число N.

Із означення витікає, що

 

 

є функцією, оберненою по відно

 

 

зводиться до добування кореня

 

якщо відоме а, то шукають показник

 

шенню до у “в*.

Операція піднесення деякого додатного числа а до степеня має дві зворотні операції. Нехай ax=N(N>0, виходячи із властивостей показникової функції).

Тоді, якщо за відомим Nix шукають а, тобто основу, — ця операція

 

степеня х.

 

Якщо за основу (*) вибрано а - 10, то пишуть IgN — десятковий логарифм, якщо а - е, то InN — натуральний логарифм.

(Дотична до кривої у - In*, проведена у точці х -1, утворює з віссю От кут 45е).


ма юри іншій оснош

Праш> 1 логарифми чисел, більших за 1, додатні, меншій - аЦ’с-шй;щтв< І логарифми чшсхл, більших за 1, аід'смиї. мсншш - доді-тігі.

Кошящіюштт тгці гтшгг|тппгг за допомогою «кошза пппітн non рифмом числа (виразу) визначається число Це перетворення с оберне* ннм до логврифмуваиня.

2.7.3. Власт—осп логарифмічної функції

 

Обметь визначення функції: дг>0.

Якщо а > I — функція зростає. Якщо#< 1 * функція cm-две.

Графік логарифмічної функції при будь-якій основі перетинає вісь От у точці х - 1. Із зростай* ням jof крива у - iog^r все більше прилягає д о od Ох.

2.7. Застосування другої границі для побудови графіків

При а > 1 нерівність (*) рівносиль**,л такій системі рівнянь:

 

Найпростіший шід логарифмічної нерівності:


Якщо 0 < a < t, то (*) рівносильна такій системі рівнянь:

При а > 1 логарифмічна функція зростає. Тому більшому лопариф. му відповідає і більше значення виразу, який знаходиться під знаком логарифма.

При 0 < a < 1 більшому логарифму відповідає менше значення виразу, який знаходиться під знаком логарифма.

Категорія: Математика » Алгебра

Автор: admin от 8-06-2013, 22:45, посмотрело: 2621